Интерстеллар: наука за кадром - Кип С. Торн

Для черной дыры, которая, как Гаргантюа, вращается очень быстро, окружность горизонта C в экваториальной плоскости выражается формулой C = 2πGM/c² = 9,3M/M¤ км. Здесь M – это масса дыры, а M¤ = 1,99 × 1030 – это солнечная масса. У очень медленно вращающейся дыры окружность горизонта вдвое больше. Радиус горизонта равен его окружности, деленной на 2π: R = GM/c² = 1,48 × 108 в случае Гаргантюа, что практически равно радиусу орбиты Земли вокруг Солнца.

Массу Гаргантюа я выбрал исходя из следующих рассуждений: масса планеты Миллер m вызывает направленное внутрь гравитационное ускорение g на поверхности планеты в соответствии с ньютоновским законом обратных квадратов g = Gm/r², где r – это радиус планеты. На стороне планеты, которая обращена к Гаргантюа, и на стороне, которая противостоит дыре, приливная гравитация Гаргантюа вызывает растягивающее ускорение gt (разница силы притяжения Гаргантюа между поверхностью планеты и ее центром, на расстоянии r), gt = (2GM/R)r³. Здесь R – это радиус орбиты планеты Миллер вокруг Гаргантюа, который практически соответствует радиусу горизонта черной дыры. Если приливное ускорение превысит собственное гравитационное ускорение планеты, ее разорвет на части, поэтому gt должно быть меньше g: gt < g. Подставляя формулы для g, gt и R, выразив массу планеты через ее плотность ρ как m = (4π/3)r³ρ и произведя некоторые вычисления, получим: M=√(3)c³ × √(2πG³ρ). Я оцениваю плотность планеты Миллер как ρ = 10 000 кг/м³ (что приблизительно соответствует плотности сжатых горных пород), откуда получаю выражение для массы Гаргантюа: M < 3,4 × 1038 кг – это примерно 200 миллионов солнечных масс, что я, в свою очередь, аппроксимирую до 100 миллионов солнечных масс. Используя уравнения теории относительности, я получил формулу, которая связывает замедление времени на планете Миллер, S = (один час за семь лет) = 1,63 × 10−5, с долей α, на которую скорость вращения Гаргантюа меньше максимально возможной: 16S³/(3√3). Эта формула верна только для очень высоких скоростей вращения. Подставляя значение S, получим α = 1,3 × 10−14, то есть скорость вращения Гаргантюа меньше предельной приблизительно на одну стотриллионную долю.

Уравнения для орбитального движения лучей света вокруг Гаргантюа, которые я предоставил Оливеру Джеймсу из Double Negative, – вариант уравнений из приложения A в [Levin, Perez-Giz 2008]. Уравнения для изменения сечения пучков света – вариант уравнений из [Pineult, Roeder 1977a] и [Pineult, Roder 1977b]. В нескольких статьях, которые будут выложены по адресу arxiv.org/find/gr-qc, мы с командой Пола Франклина дадим конкретные формы наших уравнений и расскажем о подробностях их реализации и полученных в ходе моделирования результатах.

Вот расчеты, лежащие в основе заявлений, которые я делаю в главе 13. Это неплохой пример того, как ученый производит оценки. Цифры здесь весьма приблизительны; я указываю их точность лишь до одного знака после запятой.

Масса земной атмосферы 5 × 1018 кг, из которых около 80 процентов – это азот, а 20 процентов – молекулярный кислород, O2; тогда выходит, что в атмосфере 1018 кг O2. Количество углерода в неперегнивших растениях (геофизики называют его «органическим углеродом») составляет около 3 × 1015 кг – приблизительно половина находится в поверхностных слоях мирового океана, и половина – на суше (таблица 1 из [Hedges, Keil 1995]). Обе эти части окисляются (преобразуются в CO2) в течение примерно 30 лет. Поскольку молекула CO2 состоит из двух атомов кислорода (полученного из атмосферы) и лишь одного атома углерода, а масса атома кислорода составляет 16/12 от массы атома углерода, после того как все растения на Земле погибнут, на окисление органического углерода будет затрачено 2 × 16/12 × (3 × 1015 кг) = 1016 кг O2 – один процент всего атмосферного кислорода.

Относительно подтверждений внезапного перемешивания океанов и теории, объясняющей причины этого явления, см. [Adkins, Ingersoll, Pasquero 2005]. Стандартная оценка количества органического углерода в океанских придонных отложениях, которые могут оказаться на поверхности в результате перемешивания океанов, принимает во внимание главным образом верхний слой отложений, содержимое которого, в свою очередь, перемешивается за счет океанских течений и активности живых существ. Углерод в этом слое скапливается по мере его осаждения с оценочной скоростью около 1011 кг в год, а среднее время, которое требуется, чтобы этот углерод соединился с кислородом из океанской воды, составляет 1000 лет. Всего получается около 1,5 × 1014 кг – одна двадцатая от общего количества углерода на суше и в поверхностных слоях океана [Emerson, Hedges 1988, Hedges, Keil 1995]. Однако: 1) оценочная величина скорости осаждения может намного отличаться от действительной скорости осаждения; например Энн Баумгарт и другие [Baumgart et al. 2009], руководствуясь тщательными измерениями, оценили скорость осаждения углерода в Индийском океане около Явы и Суматры с фактором неопределенности, равным 50. При экстраполяции на весь Мировой океан это может дать до 3 × 1015 кг в верхнем слое отложений (столько же, сколько на суше и в поверхностных слоях океана); 2) изрядная часть осажденного углерода может попасть в нижний слой отложений, который не смешивается с водой и потому не окисляется, за исключением внезапных перемешиваний океана. Считается, что последний раз такое перемешивание происходило во время последнего ледникового периода, около 20 000 лет назад – этот срок в двадцать раз превышает время окисления углерода в верхнем слое отложений. Так что в нижнем слое может быть в двадцать раз больше органического углерода, чем в верхнем, а значит, и в двадцать раз больше, чем на суше и на поверхности океана. Если новое перемешивание океана выбросит этот углерод на поверхность, где он окислится, этого будет достаточно, чтобы вынудить всех людей на планете задыхаться от нехватки кислорода и умирать от отравления СО2; см. конец главы 12. Поэтому такой сценарий возможен, хоть и крайне маловероятен.

По решению Кристофера Нолана червоточина в «Интерстеллар» имеет диаметр в несколько километров. Угловой диаметр червоточины (в радианах) при наблюдении с Земли равен ее диаметру, деленному на расстояние от Земли, которое составляет около девяти астрономических единиц, или 1,4 × 109 км (радиус орбиты Сатурна). Отсюда угловой диаметр червоточины – примерно 2 км / (1,4 × 109 км) = 1,4 × 10–9 радиан, или 0,0003 секунды дуги. Радиотелескопы планово достигают такого углового разрешения с помощью интерферометрии. Наземным оптическим телескопам, использующим технологию под названием «адаптивная оптика», а также космическому телескопу «Хаббл» (по состоянию на 2014 год) доступны лишь угловые разрешения в сто раз слабее. Двойные телескопы в обсерватории Кека на Гавайях с помощью интерферометрии достигают угловых разрешений, которые в десять раз слабее, чем угловой диаметр червоточины, и вполне вероятно, что в эпоху «Интерстеллар» оптическая интерферометрия между более удаленными один от другого телескопами позволит достичь лучших разрешений, чем 0,0003 секунды дуги.